Ecuación de ondas de Schrödinger

      Antes de introducirnos en la ecuación de ondas de Schrödinger es necesario que analicemos lo que representa un movimiento ondulatorio u onda, como resultado de la propagación de un movimiento armónico de unas partículas materiales a otras en un medio material.

      Un movimiento vibratorio sencillo es el movimiento armónico simple (m.a.s.), que se define como aquél que se repite periódicamente a ambos lados de una posición central de equilibrio. Un sistema, que puede ser una partícula material, que se desplaza pasando periódicamente por una posición de equilibrio se llama oscilador armónico.

      En el movimiento de un oscilador armónico, la distancia que recorre la partícula oscilante al cabo de un cierto tiempo es la elongación, y (suponiendo que realizamos el estudio sobre el eje Y), distancia entre la posición al cabo de t y el centro de oscilación, O. El valor máximo que puede tomar la elongación es la amplitud, A. La ecuación del oscilador armónico es  y = A sen ωt, que es la ecuación del movimiento armónico simple que nos permite determinar el desplazamiento de una partícula en cualquier instante, a partir de su posición central de equilibrio, es decir, su elongación.

      La magnitud ω es la pulsación o frecuencia angular del oscilador armónico y se puede determinar por la relación: ω = 2π/T (rad/s), en la que T es el período, tiempo que tarda el oscilador en recorrer una oscilación completa, al mismo tiempo que el punto auxiliar describe, con movimiento circular uniforme, una circunferencia, 2π radianes. La frecuencia del oscilador es el número de oscilaciones realizadas en la unidad de tiempo; es f = 1/T (Hz, hercios o ciclos por segundo), puesto que realiza una oscilación en un T. La frecuencia se mide en hertzios, Hz. Resulta también que ω = 2π/T = 2πf.

      Cuando la diferencia de fase entre dos puntos materiales del movimiento armónico es 2n·π (n puede ser cero y un número entero) decimos que ambos puntos se hallan en fase o concordancia de fase. Y si la diferencia de fase es (2n+1)·π, los puntos están en oposición de fase.

      Otras dos magnitudes del m.a.s. son la velocidad y la aceleración. Si la fase inicial es nula, la velocidad del oscilador armónico es: v = dy/dt = Aωcos ωt, si φ₀ = 0. Y la aceleración es la derivada de v respecto al tiempo, es decir a = d²y/d²t = - Aω²sen ωt = - ω²y.

      Se define una onda o un movimiento ondulatorio como toda energía que producida en un punto material oscilatorio es capaz de propagarse. Pero no se propaga la partícula o punto material sino sólo la energía, que se comunica a las partículas del medio haciéndolas oscilar. Según el movimiento de las partículas del medio, las ondas se clasifican en: longitudinales, si las partículas oscilan en la dirección de propagación del movimiento ondulatorio, como son las ondas sonoras y las producidas en un muelle en la dirección del mismo, y transversales si las partículas vibran perpendicularmente a la dirección de propagación, como son las ondas producidas en una cuerda, o las similares originadas por las vibraciones de los electrones en los átomos, y las ondas electromagnéticas.

Onda transversal en una cuerda. Las partículas vibran

verticalmente a la dirección de propagación de la onda.

La distancia entre A y E es una longitud de onda.  

       Al producir una perturbación en la partícula A de una cuerda, comienza a vibrar perpendicularmente hacia arriba y hacia abajo como un oscilador armónico y se origina una transmisión de energía en forma de onda transversal, que llega a la partícula E en un período, T, recorriendo una longitud de onda, λ. Cuando la perturbación ha llegado a E, la partícula A ha realizado una oscilación completa, y ambas partículas oscilan en fase (se mueven en el mismo tiempo y en el mismo sentido, es decir, la diferencia de fase de ambas partículas A y E es, en este caso, de 2π); sin embargo, las A y C están en oposición de fase (cuando A inicia una oscilación hacia arriba, C la inicia hacia abajo, en sentido contrario; en este caso la diferencia de fase de ambas partículas es π).

      Como ya se ha indicado, la distancia λ recorrida por la onda en un período es la longitud de onda. Por tanto, la velocidad de propagación de la onda es:

v = λ/T = λ·f

No se debe confundir la velocidad de propagación de la onda con la velocidad individual de las partículas oscilantes, que como sabemos es variable según el tiempo.
      La ecuación de un movimiento armónico simple, que nos da el estado de vibración de un punto material al cabo de un tiempo t, es, si no hay fase inicial, es decir, si comienza a oscilar en su posición central de equilibrio,

y = A sen ωt.

      Se trata de una función senoidal o sinusoidal que depende sólo del tiempo. Pero un movimiento ondulatorio es una onda armónica doblemente periódica: respecto al tiempo t, y=f(t), y respecto a la distancia recorrida x, y=f(x). Si t es constante (un valor determinado del tiempo) la elongación, y, sólo depende de x, es decir, es una función senoidal que representa el estado de vibración de los diversos puntos del medio en ese instante. Y si x es constante, es decir, lo que sucede en un punto determinado, se trata de una función senoidal que nos da el estado de vibración de dicho punto en el transcurso del tiempo.

Gráfica y = f (x)

En un mismo instante (t = Cte.), la elongación es función de la distancia

recorrida por la onda. La sinusoide es una imagen del estado de

oscilación de los puntos en ese instante, como una fotografía de la cuerda en un instante.

Gráfica y = f (t)

La elongación de una partícula es función del tiempo y la

sinusoide es una imagen del estado de

oscilación de la partícula a lo largo del tiempo (x = Cte.). Describe

pues el movimiento de una partícula de abscisa fija.

      Por tanto, la ecuación de una onda debe contener ambas dependencias, es decir, debe  expresar la relación de la elongación en función de dos variables: t y x. Supongamos que en el foco u origen de la onda se produce una perturbación que se propaga hasta el punto P. La ecuación que da el estado de vibración de este punto es, como hemos indicado antes, de la forma y = A sen ωt₁, en la que t₁ es el tiempo que ha tardado este punto en llegar a P´ desde que comenzó a vibrar. Sin embargo, la onda tardó en llegar a P un tiempo t₂, antes de comenzar a vibrar este punto. De ahí que el tiempo total t desde que salió la onda del foco sea t=t₁+t₂, es decir, t₁ = t - t₂. Sustituyendo en la ecuación anterior:

y = A sen ω(t - t₂)

Si la onda ha recorrido una distancia x en un tiempo t₂, la velocidad de propagación es v = x/t₂, y entonces t₂ = x/v. Sustituyendo:

   y = A sen ω(t - x/v) 

Como la pulsación ω = 2π/T, sustituyendo resulta:
                        y = A sen 2π/T(t - x/v) = A sen 2π (t/T - x/vT),
de donde, como vT=λ, resulta: 

y = A sen 2π (t/T – x/λ)

y = A sen (ωt – kx)

      Esta es la ecuación del movimiento ondulatorio, es decir la ecuación de una onda armónica, que es doblemente periódica: respecto al tiempo t y respecto a la distancia recorrida x. El término k = 2π/λ es el llamado número de onda.

      La ecuación de una onda nos da la distancia de una partícula a su posición de equilibrio, y, conocidos: λ, longitud de onda, A, amplitud de onda, el período o tiempo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda, la distancia de la partícula al foco, x, y el tiempo que tarda en recorrer ésta distancia.

      Se produce interferencia de ondas cuando éstas se encuentran en un punto superponiéndose sus efectos. Cuando dos ondas poseen elongaciones positivas (o ambas negativas) la elongación resultante es mayor que la de cada onda superpuesta, y la interferencia se dice que es constructiva. Si al superponerse las dos ondas, las elongaciones son opuestas, la elongación resultante es menor que la de cada onda individual y la interferencia es destructiva.

      Consideremos el caso sencillo de interferencia de dos ondas armónicas coherentes (con diferencia de fase, kx, constante) del mismo período y longitud de onda. Las elongaciones individuales son:

                                        y₁ = A₁ sen 2π ( t/T - x₁/λ)
si uno de los movimientos recorre el camino x₁  desde el foco de ondas; y
                                        y₂ = A₂ sen 2π (t/T - x₂/λ).
si el otro recorre x₂ en el mismo tiempo t.

      El movimiento vibratorio resultante de la partícula en el punto de encuentro tendrá el mismo período T y su elongación será la suma de las elongaciones de las ondas que interfieren: y = y₁ + y₂. La diferencia de fase entre ambos movimientos ondulatorios en dicho punto es: φ = 2π ( t/T - x₁/λ) - 2π (t/T - x₂/λ) = 2π (x₂ - x₁) / λ               

y en consecuencia el punto realizará un movimiento armónico, de igual período, y cuya amplitud se puede determinar por la suma vectorial de las amplitudes de las ondas individuales superpuestas, según el principio de superposición, es decir:

A² = A₁² + A₂² + 2 A₁ A₂ cos φ.

- La amplitud será máxima cuando cos φ = 1; φ = 2π·n (n puede tomar los valores 0, 1, 2, ...) y entonces 2π (x₂ - x₁) / λ = 2π·n; de donde:

x₂ - x₁ = n·λ

y la amplitud:  A² = A₁² + A₂² + 2 A₁ A₂ = (A₁ + A₂)²; A = A₁ + A₂.
Cuando la diferencia de caminos es múltiplo entero de la longitud de onda, la amplitud resultante es la suma de las amplitudes (Interferencia constructiva).
Si ambas ondas son idénticas, esto es, tienen igual amplitud, además de iguales frecuencia y longitud de onda, la onda resultante tendrá de amplitud el doble de la de cada interferente:

A_r = 2A

- La amplitud será mínima si cos φ= - 1; φ = (2n + 1)·π; luego

x₂ - x₁ = (2n + 1)·λ/2; A = A₁ - A₂.

La amplitud de la onda resultante es la diferencia entre las amplitudes individuales para todos los puntos cuya diferencia de distancias a los focos sea un número impar de semilongitudes de onda (Interferencia destructiva).
La amplitud de la onda resultante será nula para ondas de igual amplitud. Esto sucederá cuando x₂ - x₁ =  (2n + 1) · λ/2.

      La interferencia de dos ondas idénticas puede dar lugar a una figura formada por una familia de hipérbolas, las llamadas líneas nodales (lugar geométrico de los puntos donde la amplitud es nula por interferencia destructiva), y a otra familia de hipérbolas donde la amplitud es máxima por interferencia constructiva (líneas de vientres).

      Las ondas estacionarias se producen cuando interfieren dos ondas sinusoidales idénticas pero que avanzan, con la misma velocidad, en la misma dirección y sentido contrario. La onda que se obtiene es estacionaria, es decir, no se propaga, presentando unos puntos en reposo, llamados nodos, N, y otros que oscilan verticalmente con la máxima amplitud, que se conocen con el nombre de vientres, V. Así resulta que todos los puntos que vibran lo hacen en fase pero no tienen la misma amplitud.

       Para obtener la ecuación de una onda estacionaria partiremos de las ecuaciones de las ondas que interfieren, teniendo en cuenta que la distancia recorrida por una de ellas es de sentido contrario al de la otra:

y₁ = A sen (ωt – kx) = 2π( t/T - x/λ), para la onda que viaja hacia la derecha, y para la de sentido contrario: y₂ = A sen (ωt – kx).
      Las ondas interferentes tienen la misma amplitud A y longitud de onda λ, y el mismo período T. Por el principio de superposición, la elongación resultante es
y = y₁ + y₂ = A sen (ωt - kx) + A sen (ωt + kx);
teniendo en cuenta la relación sen a + sen b = 2 cos (a-b)/2 · sen (a+b)/2,
resulta: y = 2A cos (- kx) sen ωt, puesto que cos a = cos (-a). Luego:

y = 2A cos kx sen ωt

es la ecuación de una onda estacionaria.

      El coeficiente del seno nos da la amplitud de oscilación de cada punto, a una distancia x del foco: A_r  = 2A cos kx = 2πx/λ, que es independiente del tiempo, pero que varía según una relación sinusoidal en función de la abscisa x del punto que se considere.

      Los nodos, puntos de amplitud nula, cumplen con la condición de que la distancia entre dos de ellos consecutivos es de media longitud de onda. En efecto, como los nodos tienen amplitud nula:

cos 2πx/λ = 0; 2πx/λ = π/2 + nπ; es decir: x =  (2n + 1)·λ/4;

Para n=0, x₁= λ/4, y para n=1, x₂= 3λ/4, por tanto: x₂ - x₁ = λ/2, luego los dos primeros nodos consecutivos están separados media longitud de onda. Y así cada pareja de nodos consecutivos.

      Para el caso de los vientres, puntos de máxima amplitud, el coseno tendrá su valor máximo: cos 2π x/λ = 1 ; 2π x/λ = 0 + nπ; x = λ/4·2n. 

La distancia que separa dos vientres se puede hallar también dando dos valores consecutivos de n, por ejemplo 0 y 1; para n = 0, x₁ = 0; si n = 1, x₂ = λ/2; luego la diferencia es λ/2, media longitud de onda. Los vientres también están separados media longitud de onda. Por tanto, entre un nodo y un vientre hay una distancia de un cuarto de longitud de onda.

      Un caso muy importante es el que se produce cuando una onda interfiere con su propia onda reflejada dando lugar a una onda estacionaria, tal como ocurre con los electrones confinados en el átomo.

                  Montaje para producir ondas estacionarias en una cuerda sujeta por los dos extremos.

      Supongamos una cuerda, uno de cuyos extremos se sujeta con un vibrador y el otro se coloca fijo a un soporte. Las ondas generadas se reflejarán en el extremo y se superpondrán con las incidentes, dando lugar a ondas estacionarias.

      Como en cada extremo se produce un nodo, la distancia entre ambos, que es igual a la longitud de la cuerda, contendrá un número entero de semilongitudes de onda, dado que entre dos nodos consecutivos hay media longitud de onda. Luego la longitud de la cuerda será:                                  l = n  λ/2

Y la longitud de onda de las ondas estacionarias será:  

λ = 2·l /n y la frecuencia f = v/λ = nv/ 2·l.

La frecuencia y la longitud de onda de la onda estacionaria fundamental se obtendrán para n =1, es decir:

                        f₁ = v / 2·l; λ₁ = 2·l  Onda fundamental

      Sólo serán posibles aquellas ondas estacionarias cuya frecuencia sea un múltiplo entero de la frecuencia fundamental, f₁. Veamos:
Para n = 2 (segundo armónico):  f₂ = 2 f₁ ; λ₂ = λ₁ / 2 = l
Para n = 3 (tercer armónico): f₃ = 3 f₁ ; λ₃ = λ₁ / 3 = 2 l/3

Para n = 4 (cuarto armónico): f₄ = 4 f₁ ; λ₄ = λ₁ / 4 = 2 l/4 = l/2, ...

      Para describir el comportamiento de los electrones en el interior del átomo, Schrödinger desarrolló Mecánica Cuántica u Ondulatoria. Esta teoría está basada en la teoría cuántica de Planck (La existencia de los cuantos de energía, hf), la dualidad onda-partícula de la materia y, en especial de los electrones (Tal como se puede comprobar por los fenómenos de difracción), el modelo atómico de Bohr (Las rayas del espectro del hidrógeno se interpretan como transiciones entre estados energéticos del átomo, debidos a saltos de los electrones de unas órbitas a otras),  la hipótesis de De Broglie (Las partículas materiales, y por tanto las del átomo, también se comportan como ondas) y el principio de indeterminación de Heisenberg (No se puede determinar al mismo tiempo la velocidad y la posición de un electrón, lo que introduce una incertidumbre tal que hace imposible determinar las órbitas de Bohr para los electrones).
      Como hemos indicado antes, Schrödinger sorprendió al mundo científico con la publicación de su teoría de la mecánica ondulatoria o cuántica, en la que el modelo del átomo era resuelto considerándolo como una onda. Schrödinger, convencido de la necesidad de un nuevo modelo del átomo, estableció una ecuación de ondas para describir el modelo ondulatorio del electrón del átomo de hidrógeno.
      Supongamos una onda que se transmite por una cuerda tensa gracias a que las partículas de la cuerda vibran como un oscilador perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda:

      La distancia o desplazamiento de una partícula de la cuerda a un punto de su vibración respecto a su posición central de reposo es y, al cabo del tiempo t, siendo v la velocidad de propagación de las ondas y x la distancia recorrida por la onda para llegar a la partícula que oscila. El desplazamiento y es una función de x y de t: y = f(x).g(t), por tanto, la ecuación de la onda debe contener la dependencia de la elongación respecto a la distancia recorrida por la onda, x, (f(x) es como la fotografía de la cuerda en un instante congelado) y respecto al tiempo, t (g(t) describe el movimiento de una partícula situada en un punto de abscisa fija). Se cumple la ecuación diferencial:

      Se puede comprobar cómo la ecuación general del movimiento ondulatorio y = A sen (ωt-kx) satisface a la ecuación anterior. Al derivarla parcialmente respecto a x:

y la derivada segunda

puesto que k = 2π/λ = ω/v.

Si derivamos la función y respecto al tiempo

Despejando ω²A sen(ωt-kx) y sustituyendo en la expresión anterior de la diferencial de segundo grado respecto a t, queda la ecuación diferencial de ondas indicada antes.

     Si aplicamos esto al caso de ondas estacionarias que tienen lugar en una cuerda sujeta por los dos extremos, la elongación, y, sólo depende de la posición de la partícula en la cuerda, es decir, de la abscisa x. Hemos introducido las ondas estacionarias porque vamos a aplicar la ecuación de ondas al caso del electrón confinado dentro del átomo de hidrógeno, cuyo comportamiento es semejante al de una cuerda vibrante sujeta por los extremos. El electrón vibra como un oscilador armónico, como los puntos materiales de la cuerda, y se generan determinadas ondas estacionarias, al igual que hay sólo unos modos de vibración en la cuerda.

      La ecuación de las ondas estacionarias es:

y = 2Acos(ωt)sen(kx)

y la derivada segunda se calcula como antes:

En esta expresión y = f(x) y k² = 4π²/λ, puesto que k=2π/λ. Y resulta:

      Hagamos ahora dos generalizaciones: una, sustituir f(x) por una magnitud abstracta, Ψ, dependiente periódicamente de x; otra, extender el movimiento a las tres dimensiones del espacio. De modo que sustituyendo f(x) por Ψ(x, y, z), que escribiremos simplemente como Ψ, nos queda:

Para simplificar la escritura, introducimos el operador diferencial nabla (∇) (más concretamente, se trata del laplaciano, ∇², de la función):

Con lo que la ecuación queda así:

Schrödinger postula que esta ecuación se puede aplicar a cualquier partícula y que la onda descrita se identifica con la hipótesis de De Broglie:

λ = h/mv.

Y así tenemos:

Donde m es la masa y v la velocidad de la partícula. La energía total de ésta es la suma de sus energías potencial y cinética:

E = V + ½ mv²

Si extraemos la expresión mv² = 2 (E – V), y la sustituimos en la ecuación, resulta la ecuación de ondas de Schrödinger:

Ecuación de ondas

Ψ: función de onda

m: masa del electrón
h: constante de Planck
E: energía total del electrón
V: energía potencial del electrón

      La ecuación de ondas tiene un número infinito de soluciones, pero sólo algunas de ellas la satisfacen. A estas soluciones permitidas, llamadas funciones de onda, les corresponden valores definidos de energía. La función de onda, Ψ, viene a representar una función de amplitud sin un significado físico concreto, no suministra ni la posición ni la velocidad exactas del electrón, en cambio su cuadrado, Ψ², se puede interpretar como la probabilidad de encontrar el electrón en una región determinada del espacio que rodea al núcleo, con lo cual se está introduciendo en el modelo el principio de incertidumbre de Heisenberg.

      En cierto modo se puede considerar a Ψ como el equivalente, en el lenguaje de la mecánica ondulatoria, de la órbita propuesta por Bohr; de ahí que sus soluciones se llamen orbitales. De la resolución de la ecuación de onda de Schrödinger se obtiene, por tanto, una serie de funciones de onda (ó probabilidades de distribución de los electrones) para los diferentes niveles energéticos que se denominan orbitales atómicos.

      Es decir, como el electrón está situado en el interior del átomo y se comporta como un oscilador originando ondas estacionarias, entonces la existencia de un número determinado de ondas estacionarias, como hemos indicado antes, da lugar a una selección 1, 2,... de estados permitidos como soluciones de la ecuación de ondas y, por tanto, a una secuencia E₁, E₂,... de valores discontinuos de la energía que describen de una forma simplificada los posibles niveles energéticos del electrón dentro del átomo.

Sólo puede haber múltiplos enteros de su longitud de onda λ en el interior de la superficie esférica límite del orbital del átomo. Estas ondas estacionarias asociadas al electrón se corresponden con los distintos niveles de energía que puede adoptar el electrón. La figura corresponde a una onda estacionaria de 3λ.

      Por tanto, la ecuación de  ondas describe el movimiento del electrón en el átomo de H y sus soluciones corresponden a las ondas estacionarias fundamentales del átomo, donde el electrón tiene una longitud de onda, λ. Schrödinger reconoció que la solución de su ecuación de onda, Ψ, en tres dimensiones (x, y, z) exigía la presencia de tres números cuánticos para describir un orbital: n, l y m. Existe un cuarto número cuántico, s, pero éste sólo interviene en la identificación del electrón.

      Podríamos imaginar el electrón como una nube difusa de su carga eléctrica, cuya densidad varía de un lugar a otro. Pero se acostumbra a representar los orbitales por medio de una superficie de contorno que limita la región del espacio donde hay máxima probabilidad de encontrar el electrón o lo que es lo mismo una mayor densidad de carga eléctrica.

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger permiten determinar la energía del electrón dispersado en cada nivel y su dependencia de los números cuánticos.