Contracción relativista de la longitud

 

Uno de los postulados de la Teoría de la relatividad especial de Einstein es que la velocidad de la luz es una constante universal, es decir, no depende, para cada medio, del movimiento relativo de los observadores inerciales ni del movimiento de las fuentes luminosas, y además es una velocidad límite. Este hecho ha tenido consecuencias importantes a la hora de medir intervalos de distancias y tiempos, demostrando que estas medidas dependen del sistema inercial de referencia del observador. Estas consecuencias o efectos relativistas son, entre otros, la “contracción de la longitud o del espacio” (los objetos se acortan en la dirección del movimiento, tanto más cuanto mayor es su velocidad, hasta una longitud nula en el límite de la velocidad de la luz si se pudiese alcanzar) y la “dilatación del tiempo” (el paso del tiempo es cada vez más lento a medida que aumenta la velocidad del movimiento del objeto hasta pararse en el límite de la velocidad de la luz).

      La contracción de la longitud consiste en que el resultado que obtiene un observador situado en un sistema inercial en movimiento al medir la longitud de una regla, que se desplaza en la misma dirección y sentido, es mayor que la que aprecia otro observador en reposo situado fuera del sistema en movimiento. Por tanto, las medidas realizadas por el viajero desde el punto de vista del observador exterior son más cortas de lo previsto antes del viaje, como si se produjera una contracción de la longitud del objeto por el hecho de estar en movimiento y ser observada la medida desde el exterior (efecto contrario en la dilatación relativista del tiempo).

      Supongamos que dos observadores inmóviles miden la longitud de un objeto, L₀, en la Tierra. Uno de ellos entra en un vehículo y viaja a una velocidad relativista constante (por ejemplo, en una nave espacial o en el tren de Einstein); mide de nuevo la longitud del objeto y obtiene el mismo resultado, no en vano se considera situado en un sistema inercial de referencia. Pero si el que se ha quedado inmóvil en la Tierra observa la medición que está realizando el viajero encuentra que el valor de la medida, L, es menor. Como si la longitud se hubiera contraído.

      Este efecto es relativista, es decir, sólo apreciable si el objeto se halla en un sistema que se desplaza a velocidades cercanas a la de la luz y viene descrito por la llamada Transformación de Lorentz:

L  = L_o /ϒ = L_o (1- v²/c²)^1/2

 

Donde ϒ = 1 / (1 – v²/c²)^1/2 es el factor de Lorentz, que es mayor que 1,  L_o es la longitud medida por un observador estacionario (longitud propia) y L (longitud impropia) es, como detecta el observador inmóvil, la medida realizada por el que se desplaza a una velocidad relativista, v (cercana a la velocidad de la luz c), según.

      Como la raíz cuadrada del factor de Lorentz es <1, se cumple que

L < L_o.

Por lo tanto, la longitud impropia L siempre se aprecia contraída respecto a la longitud propia L_o. Einstein predice que los objetos se observan acortados en la dirección del movimiento tanto más cuanto mayor es su velocidad (a la velocidad de la luz, la longitud sería nula: si v = c, L = 0). Pero esta contracción relativista sólo es apreciable por observadores situados en sistemas inerciales de referencia externos al sistema en movimiento (a velocidades relativistas, por ejemplo, en el “tren de Einstein”) y no por observadores inerciales interiores al mismo. Estos podrían apreciar estos efectos para sucesos ocurridos en la Tierra, por ejemplo, la medida de la longitud del mismo objeto, al considerar que la que se mueve es la Tierra y no ellos.

      Si un objeto se halla en un sistema de referencia inercial que viaja a una velocidad de 0,1c, un observador interior mide L₀ = 1 m para su longitud, en la dirección del movimiento, sin embargo, un observador exterior en reposo ve que la medida que realiza el viajero es de L = 0,995 m, aproximadamente. Según la transformación de Lorentz:

L  = L_o (1- v²/c²)^1/2 = 1 · √1-0,1² = 1 · √0,99 ≈ 0,995 m

Si el observador viajero observa la medida del mismo objeto pero realizada por el observador terrestre aprecia los efectos relativistas y obtiene también 0,995 m. El objeto no se contrae materialmente, sino que la apreciación en cada sistema de referencia es distinta. Tal como ocurre con el efecto relativista de la dilatación del tiempo, pero evidentemente en este caso el tiempo se dilata.