Las ecuaciones de Maxwell

            Las leyes de los campos electromagnéticos vienen dadas por las llamadas Ecuaciones de Maxwell que expresan no sólo que las cargas eléctricas y los imanes producen a su alrededor campos eléctricos y magnéticos, respectivamente, sino también que estos campos están relacionados entre sí como determina la ley de Faraday-Henry (estos científicos observaron experimentalmente esta relación de interdependencia entre la electricidad y el magnetismo), de tal manera que un campo eléctrico dependiente del tiempo implica la existencia de un campo magnético asociado y viceversa (Teoría electromagnética). Con las leyes de Maxwell se produce la síntesis electromagnética, es decir se unifican los campos eléctricos y magnéticos y se introduce un nuevo concepto, el <<campo electromagnético>> (se trata de la segunda gran unificación, posterior a la de Newton y anterior a la de Einstein).

      Maxwell predijo la existencia de las ondas electromagnéticas, tal como comprobó más tarde Hertz (las cargas eléctricas aceleradas irradian energía electromagnética), cuyo conocimiento ha posibilitado actualmente el desarrollo de las comunicaciones y sus aplicaciones (telefonía móvil). Por otro lado, Maxwell demostró que la velocidad de propagación de estas ondas en el vacío es igual al valor de la velocidad de la luz en dicho medio, lo que le indujo a pensar que la luz es una onda electromagnética (unificación del electromagnetismo y la óptica).

      Con las leyes de Maxwell podemos entender el mecanismo de muchos aparatos, como motores y generadores de corriente, y de numerosos fenómenos que ocurren mediante impulsos eléctricos en la técnica moderna de los circuitos electrónicos e incluso en nuestro organismo (cerebro, interacciones químicas,...), en la generación y radiación de ondas electromagnéticas, como la luz, en sistemas y equipos en ingeniería, etc.

      El campo electromagnético describe la interacción electromagnética por medio principalmente de dos campos vectoriales dependientes de la posición espacial y del tiempo, el vector campo eléctrico, E (r, t) y el vector campo magnético, B (r, t), que aparecen relacionados en las ecuaciones de Maxwell.

      Las Ecuaciones de Maxwell sirvieron de inspiración a Einstein para formular la Teoría de la relatividad especial y afirmar que los campos eléctrico y magnético son dos aspectos del mismo fenómeno, el campo electromagnético. Todo depende del sistema de referencia que se adopte para observar el fenómeno y entonces detectar el campo eléctrico o el campo magnético, aunque los efectos observados son los mismos. Se trata pues de dos aspectos de una misma realidad física, tal como sucede en otros casos, como el del carácter dual de la materia, la dualidad onda-corpúsculo.

Conceptos y parámetros en las relaciones electromagnéticas

µ, permeabilidad magnética. En el vacío µ₀ = 4π.10^-7 Hy/m (henrios/por metro).

ε, permitividad dieléctrica. En el vacío ε₀ = 8,85.10^-12 F/m (faradios por metro).

ρ_v, densidad volumétrica de carga eléctrica. Se mide en C/m³.

ρ, resistividad de un conductor eléctrico. Se mide en Ω/m (ohmios por metro).

σ, conductividad eléctrica de un material, S/m (siemens por metro). Es 1/ρ.

ξ, fuerza electromotriz inducida, v (voltios). Se cumple que ξ = –dΦ/dt.

J, vector densidad de corriente eléctrica, A/m² (amperios por metro cuadrado). Siendo J = σ · E.

E, vector intensidad del campo eléctrico, v/m (voltios por metro).

B, vector inducción magnética, T ó W/m² (tesla ó webers por metro cuadrado).

H, vector intensidad del campo magnético, A/m (amperios por metro).

D, vector desplazamiento eléctrico, C/m² (culombios por metro cuadrado).

Φ_E, flujo del campo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada o abierta, V·m

Φ_B, flujo del campo magnético, Wb (webers), es el flujo magnético que al atravesar un circuito de una sola espira origina en la misma una fem de un voltio, es por tanto 1 V·s o 1 T·m².

(en adelante, los vectores seguirán apareciendo en negrita, sin utilizar la flecha)

	Breve descripción de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial
1ª. Ley de Gauss del campo eléctrico La forma diferencial es ∇ · E = ρ/ε0 Es la divergencia del campo eléctrico: div. E. Es un producto escalar. Expresa que el flujo eléctrico, Φ, del campo a través de una superficie cerrada es proporcional a la densidad volumétrica de carga (realmente ρv),  en un punto (o número de líneas del campo que pasan por unidad de volumen infinitesimal a través de cualquier superficie cerrada que encierra dicha carga, es decir, representa el flujo neto que emerge por unidad de volumen infinitesimal) que hay en el interior de la superficie. El campo eléctrico creado por una carga se representa gráficamente por líneas del campo a modo de vectores que salen (carga +) o que entran (carga –) en todas direcciones. Expresa la relación de una carga en reposo con el campo eléctrico y nos indica si el campo diverge o sale de la carga (dónde hay una “fuente”), si div.E>0, o si entra (“sumidero”), si div.E<0. Flujo del campo eléctrico creado por una carga positiva situada en el interior de una superficie cerrada. Líneas del campo eléctrico E creado por una carga positiva (“fuente” desde donde sale el flujo de líneas radiales) y por una negativa (“sumidero” hacia donde entra el flujo de líneas radiales). Una carga positiva de prueba situada en un punto de alrededor se desplazaría en el sentido de las líneas del campo.
2ª. Ley de Gauss del campo magnético La forma diferencial es ∇ · B = 0                                 Es la divergencia del campo magnético, B(r,t): div.B. Producto escalar de dos vectores, nabla y el campo magnético. B es la densidad de flujo magnético, también llamada inducción magnética. Indica que las líneas del campo magnético son cerradas, ni divergen ni entran, div.B=0, y, por tanto, es imposible crear un polo magnético aislado o separar los polos magnéticos de un imán. Tienen sentido del polo N al polo S como se indica en el espectro magnético siguiente:
3ª. Ley de Faraday de la inducción electromagnética La forma diferencial de esta ecuación es: ∇ x E = - ∂B/∂t Es la relación entre los campos eléctrico y magnético. Un campo magnético dependiente del tiempo, es decir no estacionario, implica la existencia de un campo eléctrico. Al variar el flujo del campo magnético que atraviesa una superficie cerrada (la de un circuito eléctrico) provoca un campo eléctrico que origina en el circuito una corriente inducida (generada por un voltaje cuya causa es una f.e.m.),  ξ = -∂Φm/∂t,   cuyo sentido es tal que el flujo magnético que crea se opone al inicial que ha producido la corriente inducida. Ley de Lenz El sentido de la corriente inducida en la espira o circuito es tal que el campo magnético creado por ella se opone a la variación de flujo que la ha producido. Por ejemplo, si aumenta el flujo magnético que atraviesa el circuito, acercando el N del imán, el campo magnético creado por la corriente inducida en el circuito (de sentido el de la S) crea el polo magnético adecuado, S, para atraer el N del imán e impedir que éste se aleje y que disminuya su flujo. El trabajo mecánico realizado para desplazar el imán supone una transformación de energía mecánica en eléctrica y su variación por unidad de carga es la f.em. (Principio de conservación de la energía).
4ª. Ley de Ampère- Maxwell En forma diferencial, esta ecuación toma la forma: ∇ x B = µ0J + µ0ε0 ∂E/∂t En forma sencilla la ecuación con el penúltimo término, explica que si se tiene un conductor rectilíneo de densidad de corriente eléctrica J, ésta da lugar a un campo magnético B rotacional alrededor del conductor cuyo rotor tiene el mismo sentido que la corriente. Maxwell añadió el último término, confirmando que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético. Una corriente eléctrica rectilínea crea a su alrededor un campo magnético. Un campo eléctrico que varía con el tiempo implica la existencia de un campo magnético en el mismo lugar.

     

Tabla resumen de las ecuaciones de Maxwell

en el vacío, en forma diferencial

∇ · E = ρ/ε0

∇ · B = 0

∇ x E = - ∂B/∂t

∇ x B = µ0J + µ0ε0 ∂E/∂t

Operadores matemáticos

      En la descripción matemática de las magnitudes que intervienen en estas ecuaciones se manejan operadores matemáticos, entre ellos el operador nabla, la divergencia del vector campo, el rotacional o rotor del vector campo (un campo vectorial se determina a partir de su rotacional y de su divergencia), el gradiente de un escalar, el laplaciano, etc.

Operador nabla	∂         ∂       ∂                     ∇ = — i +   — j +— k         ∂x       ∂y      ∂z Este operador diferencial representa un vector, tal que aplicado a un escalar (por ejemplo, el potencial V o al flujo Φ) es el gradiente de dicho escalar, grad.V o grad.Φ, y aplicado a un vector, por ejemplo al campo eléctrico, E(r,t), es la divergencia de dicho vector, div.E. Aplicaciones de nabla: -      Gradiente ∇V ó ∇Φ -      Divergencia ∇·E ó ∇·F -      Rotacional ∇xE ó ∇xF -      Laplaciano ∇2V ó ∇2Φ
Divergencia de un vector	Producto escalar          ∂Ex    ∂Ey   ∂Ez                    ∇·E = —  + —  + —                                          ∂x        ∂y    ∂z Lo que varía el vector (o el campo que representa) en un punto respecto a los ejes cartesianos. Nos indica los puntos donde nacen o mueren las líneas de fuerza del campo.
Rotacional o rotor de un vector	Producto vectorial Desarrollando este determinante:  ∇ x E = (∂Ez/∂y - ∂Ey/∂Ez)i + (∂Ex/∂z - ∂Ez/∂Ex)j + (∂Ey/∂x - ∂Ex/∂Ey)k donde i, j, k son los vectores unitarios según los tres ejes cartesianos (o también ux, uy, uk). Nos da idea de las turbulencias o alteraciones en puntos del campo. La divergencia del rotacional de un vector A es nulo: ∇ · (∇ x A) = 0.
Gradiente de un escalar	El grad.V es un vector perpendicular a las superficies de nivel y de sentido hacia valores crecientes de la función escalar.   Variación del potencial en un punto respecto a los ejes de coordenadas. El rotacional del gradiente es siempre cero: ∇ x (∇·V) = 0
Circulación de un vector a lo largo de una curva	c = ∫E · dl = ∫(Exdx + Eydy + Ezdz) Un campo es conservativo si la circulación entre dos puntos es independiente del camino que se siga y solo depende de los puntos inicial y final.
Operador laplaciano (ó laplaciana),	El laplaciano de un escalar es la divergencia del gradiente del escalar Φ (x,y,z), es decir, ∇2Φ = ∇·(∇· Φ), de alguna forma mide la concavidad del escalar y se expresa por: Y el laplaciano de un vector F es el gradiente de la divergencia del vector – el rotor del rotor del vector: ∇2F = ∇·(∇·F) – ∇x(∇xF).

     

Ecuaciones de Maxwell en forma integral

1ª Ley integral de Gauss del campo eléctrico.

El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es:

Φ_E =∫_s E · dS

donde dS es el vector que representa a la diferencial de área o de superficie infinitesimal en dirección normal a la superficie. El flujo eléctrico, es decir la integral anterior, es igual a q/ε₀ en el vacío, siendo q la carga situada dentro de la superficie cerrada.

El flujo eléctrico es pues un escalar que representa el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.

2ª Ley integral de Gauss del campo magnético.

El flujo del campo magnético Φ_B a través de una superficie cerrada es nulo:

Φ_B =∫_s B · dS = 0

Luego, toda línea de fuerza del campo magnético que entra en una superficie cerrada tiene que salir.

3ª Ley integral de Faraday de la inducción electromagnética

C_E =∫E · dl = - d∫_s B·dS / dt

Esto es, la circulación del vector campo eléctrico, c_E, o también la f.e.m. inducida, ξ, a lo largo de un circuito cerrado, es igual a la variación del flujo Φ_B del campo magnético que lo atraviesa en la unidad de tiempo, pero de signo contrario:

c_E = ∫- dΦ_B/dt

Este signo negativo explica que el sentido de la corriente inducida es tal que su flujo se opone a la causa que lo produce.

Si el campo es estacionario (no dependiente del tiempo) ∫E · dl = 0.

4ª Ley integral de Ampère-Maxwell

C_B =∫_c B · dl = µ₀ ∫_S J · dS + µ₀· ε₀· d∫_S E · dS / dt

La circulación en un campo magnético, c_B, a lo largo de una curva cerrada C depende de la densidad de corriente, J, sobre la superficie encerrada en la curva C (tal como se indica en el primer término del 2º miembro).

Conviene recordar que ∫_s J·dS = I, intensidad de corriente. 

Se puede concluir que la ley indica que una corriente eléctrica crea un campo magnético.

El segundo término corresponde a la variación del flujo eléctrico respecto al tiempo:

d∫_s E·dS / dt = dΦ_E/dt

Luego un campo eléctrico que varía con el tiempo, es decir, que no es estacionario, origina un campo magnético.

Si el campo es estacionario, sólo queda el primer término y entonces la circulación es igual a µ₀·I.

Resumen de las ecuaciones de Maxwell

en forma integral en el vacío

1ª. Ley de Gauss del campo eléctrico ΦE = ∫E · dS = q/ε0

2ª. Ley de Gauss del campo magnético ΦB = ∫B · dS = 0

3ª. Ley de Faraday de la inducción electromagnética cE = ∫E · dl = - dΦS/dt = - d∫B·dS /dt Si el campo es estacionario cE = 0.

4ª. Ley de Ampère-Maxwell CB = ∫B · dl = µ0·I + µ0· ε0· dΦE/dt Si los campos son estacionarios CB = ∫B · dl = µ0·I